Determine as derivadas parciais de U(x, y)=x^{0,5} y^{0,5}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de U(x,y)=x^{0,5}y^{0,5}. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra de potência, que diz que \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Para \frac{\partial U}{\partial x}, tratamos y como constante. Reescrevendo o expoente 0,5=\tfrac{1}{2}, temos
U(x,y)=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}.
Aplicando a regra de potência ao fator x^{\frac12}, obtemos
\frac{\partial U}{\partial x}(x,y) =\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\,y^{\frac{1}{2}}.

Passo 3

Para \frac{\partial U}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra de potência ao fator y^{\frac12}, resultando em
\frac{\partial U}{\partial y}(x,y) =\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}}\,y^{-\frac{1}{2}}.

Resposta

\frac{\partial U}{\partial x}=\tfrac{1}{2}\,x^{-\tfrac{1}{2}}\,y^{\tfrac{1}{2}}, \frac{\partial U}{\partial y}=\tfrac{1}{2}\,x^{\tfrac{1}{2}}\,y^{-\tfrac{1}{2}}.

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