Seja z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, calcule \left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}\right), no ponto P(3,1)

Passo 1

O problema nos dá a função de duas variáveis z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
e pede o valor de
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \;-\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
no ponto P(3,1).
O que precisamos: calcular as derivadas parciais de primeira ordem, depois as de segunda ordem, e enfim avaliar a diferença no ponto dado.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas de primeira ordem. Como z = (x^{2}+y^{2})^{1/2}, por regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e de modo análogo
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} derivando \frac{\partial z}{\partial x} = x\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2} em relação a x. Usando produto e cadeia:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = (x^{2}+y^{2})^{-1/2} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} = \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} usamos simetria, trocando x por y:
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 5

A diferença pedida é
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \;-\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
No ponto P(3,1) temos x^{2}+y^{2}=9+1=10 e y^{2}-x^{2}=1-9=-8. Logo
\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}\right)\Bigg|_{(3,1)} = \frac{-8}{10^{3/2}} = -\frac{8}{10\sqrt{10}} = -\frac{4}{5\sqrt{10}} = -\frac{2\sqrt{10}}{25}.

Resposta

-\frac{2\sqrt{10}}{25}

Exercícios relacionados