( 3,0 pts) Resolva a seguinte equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando a Transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada a cada termo da equação e usar as condições iniciais para determinar
.
Passo 2
Aplicamos
em ambos os lados de
Usando
temos
Passo 3
Agrupando
e os termos conhecidos,
logo
Isolando
,
Passo 4
Vamos separar
em duas parcelas: a parte que depende de
e a parte “homogênea”. Escrevemos
então
Agora aplicamos a inversa:
-
. -
. -
(convolução).
Resposta
A solução geral é