( 3,0 pts) Resolva a seguinte equação diferencial usando a Transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=g(t), \quad y(0)=2, y^{\prime}(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y' + 4y = g(t),
com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3, usando a Transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada a cada termo da equação e usar as condições iniciais para determinar Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em ambos os lados de
y'' + 4y' + 4y = g(t).
Usando
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\} = sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y\} = Y(s),\quad \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s),
temos
\bigl(s^2Y(s) - 2s + 3\bigr) +4\bigl(sY(s)-2\bigr) +4Y(s) =G(s).

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos conhecidos,
s^2Y(s)+4sY(s)+4Y(s) \;-\;2s+3-8 \;=\;G(s),
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(s+2)^2\,Y(s) = G(s) + 2s + 5.
Isolando Y(s),
Y(s) = \frac{G(s) + 2s + 5}{(s+2)^2}.

Passo 4

Vamos separar Y(s) em duas parcelas: a parte que depende de G(s) e a parte “homogênea”. Escrevemos
2s+5 = 2(s+2) + 1,
então
Y(s) = \frac{2(s+2)}{(s+2)^2} + \frac{1}{(s+2)^2} + \frac{G(s)}{(s+2)^2} = \frac{2}{s+2} + \frac{1}{(s+2)^2} + \frac{G(s)}{(s+2)^2}.
Agora aplicamos a inversa:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s+2}\} = 2e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^2}\} = t\,e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{G(s)}{(s+2)^2}\} = \displaystyle\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau (convolução).

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(t) = 2e^{-2t} \;+\; t\,e^{-2t} \;+\;\int_{0}^{t} (t-\tau)\,e^{-2(t-\tau)}\,g(\tau)\,d\tau. }

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