Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}(n x) \operatorname{sen}(m x) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \sin(n x)\,\sin(m x)\,dx,
onde n e m são constantes. O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas (produto-para-soma) para transformar o integrando em uma soma de cossenos, que é direta de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade produto-para-soma
\sin(A)\,\sin(B) =\tfrac12\bigl[\cos(A - B)-\cos(A + B)\bigr].
Tomando A=n x e B=m x, temos
\sin(n x)\,\sin(m x) =\tfrac12\bigl[\cos((n - m)x)-\cos((n + m)x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \sin(n x)\,\sin(m x)\,dx =\tfrac12\int \bigl[\cos((n - m)x)-\cos((n + m)x)\bigr]dx.

Passo 4

Para n\neq m, integramos termo a termo usando \displaystyle\int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx):
\int \sin(n x)\,\sin(m x)\,dx =\tfrac12\Bigl[\tfrac{1}{\,n-m\,}\sin((n-m)x) -\tfrac{1}{\,n+m\,}\sin((n+m)x)\Bigr]+C.

Passo 5

No caso especial n=m, temos \sin^2(n x). Usamos
\sin^2(n x)=\tfrac12\bigl[1-\cos(2n x)\bigr],
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\int \sin^2(n x)\,dx =\tfrac12\int 1\,dx-\tfrac12\int \cos(2n x)\,dx =\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4n}\sin(2n x)+C.

Resposta

Para n\neq m:
\boxed{\int \sin(n x)\,\sin(m x)\,dx =\tfrac12\Bigl[\tfrac{\sin((n-m)x)}{n-m} -\tfrac{\sin((n+m)x)}{n+m}\Bigr]+C.}
Para n=m:
\boxed{\int \sin^2(n x)\,dx =\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4n}\sin(2n x)+C.}

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