Calcule as derivadas parciais:
; onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial em relação a
:
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de duas variáveis:
e . - Os coeficientes e constantes são
, e . - O que se pede é a derivada parcial com respeito a
(ou seja, variar mantendo fixo).
Passo 2
O que é uma derivada parcial em palavras simples: é a taxa de variação de
quando apenas
muda, enquanto
fica fixo. Formalmente, a derivada parcial por definição é
Isto significa que, para calcular
, devemos tratar
como uma constante (um número fixo) e derivar a expressão resultante em relação a
.
Passo 3
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
- Regra do múltiplo constante: se
é constante então
Aqui
pode depender de
também; se derivamos por
e
não depende de
, ele se comporta como constante.
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra da potência (power rule): para inteiro
,
No nosso caso usaremos
.
- Derivada de uma constante (em relação a
) é zero.
Passo 4
Aplicando termo a termo, lembrando que ao derivar por
tratamos
como constante.
Derivada do primeiro termo
:
Derivada do segundo termo
: como
é tratado como constante, o termo
é uma constante relativamente a
. Logo
Derivada do termo constante
:
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (regra da soma), obtemos
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então
. Isso significa que, nessa posição, se eu aumentar
um pouquinho (mantendo
em
),
aumenta aproximadamente
vezes esse pequeno aumento de
.
Dica de prova: ao fazer derivadas parciais, sempre escreva mentalmente “y é constante” e aplique as regras normais de derivação só sobre
.