Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}; onde f(x, y)=7 x^{2}+5 y^{2}+2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=7x^{2}+5y^{2}+2 e pede para calcular a derivada parcial em relação a x: \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de duas variáveis: x e y.
  • Os coeficientes e constantes são 7, 5 e 2.
  • O que se pede é a derivada parcial com respeito a x (ou seja, variar x mantendo y fixo).

Passo 2

O que é uma derivada parcial em palavras simples: é a taxa de variação de f quando apenas x muda, enquanto y fica fixo. Formalmente, a derivada parcial por definição é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Isto significa que, para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}, devemos tratar y como uma constante (um número fixo) e derivar a expressão resultante em relação a x.

Passo 3

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra do múltiplo constante: se a é constante então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
Aqui a pode depender de y também; se derivamos por x e a não depende de x, ele se comporta como constante.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra da potência (power rule): para inteiro n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
No nosso caso usaremos n=2.
  • Derivada de uma constante (em relação a x) é zero.

Passo 4

Aplicando termo a termo, lembrando que ao derivar por x tratamos y como constante.
Derivada do primeiro termo 7x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(7x^{2}\bigr)=7\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=7\cdot 2x=14x.
Derivada do segundo termo 5y^{2}: como y é tratado como constante, o termo 5y^{2} é uma constante relativamente a x. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5y^{2}\bigr)=0.
Derivada do termo constante 2:
\frac{\partial}{\partial x}(2)=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (regra da soma), obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=14x+0+0=14x.
Exemplo numérico rápido para fixar: se (x,y)=(1,3), então \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,3)=14\cdot 1=14. Isso significa que, nessa posição, se eu aumentar x um pouquinho (mantendo y em 3), f aumenta aproximadamente 14 vezes esse pequeno aumento de x.
Dica de prova: ao fazer derivadas parciais, sempre escreva mentalmente “y é constante” e aplique as regras normais de derivação só sobre x.

Resposta

14x

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