Calcule as derivadas parciais da função f(x, y)=raiz[5]x ln (y-2 x). Em seguida determine partial fpartial x(5,2) e partial fpartial y(5,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = raiz[5]x,lnl(y-2xr)
e, em seguida, os valores partial fpartial x(5,2) e partial fpartial y(5,2).
Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, além de analisar o domínio de f.

Passo 2

Vamos calcular partial fpartial x(x,y). Escrevendo f(x,y)=u(x),v(x,y) com
u(x)=x^1/5, v(x,y)=lnl(y-2xr),
temos pela regra do produto
partial fpartial x = u'(x),v(x,y) + u(x),partial vpartial x
Agora,
u'(x) = 15,x^-4/5, partial vpartial x = 1y-2xcdot(-2) = -2y-2x
Logo,
partial fpartial x(x,y) = 15,x^-4/5,lnl(y-2xr) - ;x^1/5,2y-2x

Passo 3

Agora partial fpartial y(x,y). Aqui só há dependência de y em v(x,y), então
partial fpartial y = u(x),partial vpartial y = x^1/5,1y-2x

Passo 4

Para avaliar em (5,2) precisamos que f (e suas derivadas) esteja definida em torno desse ponto. O domínio de f exige
y - 2x > 0
Em (5,2) temos 2 - 2cdot5 = -8, que é negativo. Portanto nem f(5,2) nem partial fpartial x(5,2) ou partial fpartial y(5,2) estão definidos no sentido real.

Resposta

partial fpartial x(x,y) = 15x^-4/5lnl(y-2xr) - 2,x^1/5y-2x, partial fpartial y(x,y) = x^1/5y-2x
Em (5,2) não existe valor real para partial fpartial x(5,2) nem para partial fpartial y(5,2), pois y-2x<0 nesse ponto.

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