Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
g(x, y)=e^y4 x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
g(x,y) = e^y4x
O conteúdo que vamos usar é regra da cadeia e derivada de produto em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a cadeia. Seja
h(x,y)=y4x,
então g(x,y)=e^h(x,y). Logo
partial gpartial x = e^h(x,y)partial hpartial x = e^y4xgl(-y4x^2gr)
e
partial gpartial y = e^h(x,y)partial hpartial y = e^y4xcdot14x

Passo 3

Agora calculamos partial^2 gpartial x^2. Escrevendo
gx = -y4x^2,g,
temos pela regra do produto
gxx = partialpartial xgl(-y4x^2gr)g +gl(-y4x^2gr)gx
Como partialpartial x(-tfracy4x^2)=tfracy2x^3, fica
gxx = y2x^3e^y4x +l(-y4x^2r)l(-y4x^2e^y4xr) = e^y4xl(y2x^3+y^216x^4r)

Passo 4

Para a mista partial^2 gpartial xpartial y derivamos
gx = -y4x^2g
em relação a y. Temos
gxy = -14x^2g +l(-y4x^2r)partial gpartial y = -14x^2e^y4x -y4x^2cdot14xe^y4x,
que simplifica para
gxy = -e^y4xl(14x^2+y16x^3r) = -e^y4x4x+y16x^3
Como gyx=gxy, a mista já está pronta.

Passo 5

Por fim, partial^2 gpartial y^2 vem de
gy = 14xg
derivando em relação a y:
gyy = 14xpartial gpartial y = 14xcdot14xe^y4x = 116x^2e^y4x

Resposta

gxx=e^y4xl(y2x^3+y^216x^4r), gxy=gyx=-e^y4x4x+y16x^3, gyy=116x^2e^y4x

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