Determine o conjunto dos pontos em que a função
é diferenciável
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de pontos
em que a função
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando que polinômios e funções exponenciais são diferenciáveis (na verdade
), e que soma, produto e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis.
Passo 2
Observe que podemos escrever
onde
Sabemos que
-
é um polinômio em , logo é em todo . - A função
é afim, logo
em
.
3. A função exponencial
3. A função exponencial
é
em
.
Pela regra da cadeia, é
em
.
Pela regra da cadeia,
Passo 3
Finalmente, como produto de funções
resulta em função
, segue que
é
em todo
. Em particular,
é diferenciável em cada ponto de
.
Resposta
O conjunto de diferenciabilidade de
é todo o plano real: