Determine o conjunto dos pontos em que a função
g(x, y)=(x^3+x^2+3) e^x+y+1
é diferenciável

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos (x,y) em que a função
g(x,y) = l(x^3 + x^2 + 3r),e^,x+y+1
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando que polinômios e funções exponenciais são diferenciáveis (na verdade C^infty), e que soma, produto e composição de funções diferenciáveis continuam diferenciáveis.

Passo 2

Observe que podemos escrever
g(x,y) = h(x),k(x,y)
onde
h(x)=x^3+x^2+3, k(x,y)=e^,x+y+1
Sabemos que
  1. h é um polinômio em x, logo é C^infty em todo R.
  2. A função
(x,y)mapsto x+y+1
é afim, logo C^infty em R^2.
3. A função exponencial
wmapsto e^w
é C^infty em R.
Pela regra da cadeia, k(x,y)=e^,x+y+1 é C^infty em R^2.

Passo 3

Finalmente, como produto de funções C^infty resulta em função C^infty, segue que
g(x,y)=h(x),k(x,y)
é C^infty em todo R^2. Em particular, g é diferenciável em cada ponto de R^2.

Resposta

O conjunto de diferenciabilidade de g é todo o plano real:
R^2

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