Calcule as derivadas parciais
e
; das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos por partes para entender e resolver tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
A função dada é
, onde
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos encontrar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos achar
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando que:
Aplicamos a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem em relação a
e
, ou seja,
e
.
Primeiro,
é a derivada de
em relação a
:
Derivando:
Simplificando:
Em seguida,
é a derivada de
em relação a
:
Derivando:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: