Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=(x^2 y-4 y^3)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = (x^2 y - 4 y^3)^5 . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos por partes para entender e resolver tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, fx e fy . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
A função dada é f(x, y) = (u)^5 , onde u = x^2 y - 4 y^3 .
A derivada de f em relação a x é:
fx = ddx (u^5) = 5u^4 cdot partial upartial x
Agora, vamos encontrar partial upartial x :
partial upartial x = partialpartial x (x^2 y - 4 y^3) = 2x y
Então, substituindo de volta:
fx = 5 (x^2 y - 4 y^3)^4 cdot 2x y = 10x y (x^2 y - 4 y^3)^4

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fy .
Usando novamente a regra da cadeia:
fy = ddy (u^5) = 5u^4 cdot partial upartial y
Calculando partial upartial y :
partial upartial y = partialpartial y (x^2 y - 4 y^3) = x^2 - 12 y^2
Substituindo de volta:
fy = 5 (x^2 y - 4 y^3)^4 cdot (x^2 - 12 y^2) = 5 (x^2 - 12 y^2) (x^2 y - 4 y^3)^4

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos achar fxy , que é a derivada de fx em relação a y .
Lembrando que:
fx = 10x y (x^2 y - 4 y^3)^4
Aplicamos a regra do produto e da cadeia:
fxy = 10x (x^2 y - 4 y^3)^4 + 10x y cdot 4 (x^2 y - 4 y^3)^3 cdot (x^2 - 12 y^2)
Simplificando:
fxy = 10x (x^2 y - 4 y^3)^4 + 40x y (x^2 - 12 y^2) (x^2 y - 4 y^3)^3

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem em relação a x e y , ou seja, fxx e fyy .
Primeiro, fxx é a derivada de fx em relação a x :
fx = 10x y (x^2 y - 4 y^3)^4
Derivando:
fxx = 10y (x^2 y - 4 y^3)^4 + 10x y cdot 4 (x^2 y - 4 y^3)^3 cdot 2x y
Simplificando:
fxx = 10y (x^2 y - 4 y^3)^4 + 80x^2 y^2 (x^2 y - 4 y^3)^3
Em seguida, fyy é a derivada de fy em relação a y :
fy = 5 (x^2 - 12 y^2) (x^2 y - 4 y^3)^4
Derivando:
fyy = 5 (-24 y) (x^2 y - 4 y^3)^4 + 5 (x^2 - 12 y^2) cdot 4 (x^2 y - 4 y^3)^3 cdot (x^2 - 12 y^2)
Simplificando:
fyy = -120 y (x^2 y - 4 y^3)^4 + 20 (x^2 - 12 y^2)^2 (x^2 y - 4 y^3)^3

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = (x^2 y - 4 y^3)^5 são:
fx = 10x y (x^2 y - 4 y^3)^4
fy = 5 (x^2 - 12 y^2) (x^2 y - 4 y^3)^4
fxy = 10x (x^2 y - 4 y^3)^4 + 40x y (x^2 - 12 y^2) (x^2 y - 4 y^3)^3
fxx = 10y (x^2 y - 4 y^3)^4 + 80x^2 y^2 (x^2 y - 4 y^3)^3
fyy = -120 y (x^2 y - 4 y^3)^4 + 20 (x^2 - 12 y^2)^2 (x^2 y - 4 y^3)^3

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