Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty 1n raizn^2-1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=2^infty1nraizn^2-1
converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação assintótica (limit comparison) com a série-p.

Passo 2

Para ver o comportamento de an=1nraizn^2-1 quando n é grande, note que
raizn^2-1 = nraiz1-1n^2 sim n(ntoinfty),
portanto
an=1nraizn^2-1sim 1ncdot n=1n^2

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação pelo limite entre an e bn=1n^2:
limntoinftyanbn =limntoinfty1nraizn^2-11n^2 =limntoinftyn^2nraizn^2-1 =limntoinftynraizn^2-1 =1
Como esse limite é um número finito não nulo, an e bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que a série-p
sumn=2^infty1n^2
converge (p =2 > 1). Logo, pela comparação de limite,
sumn=2^infty1nraizn^2-1
também converge.

Resposta

A série converge.

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