A função descreve a parte superior da circunferência de raio centrada na origem. Assim, a área do círculo é

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a área do círculo de raio R usando a integral da parte superior da circunferência:
A = 2 integral-R^R raizR^2-x^2;dx
O conteúdo aqui é cálculo de integral por substituição trigonométrica. Vamos usar a mudança de variável x = R sin t, que transforma a raiz em função de cos t.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = R sin t, dx = R cos t;dt,
quando x=-R temos sin t=-1Rightarrow t=-tfracpi2 e quando x=R temos sin t=1Rightarrow t=tfracpi2.

Passo 3

No integrando,
raizR^2-x^2 = raizR^2-R^2sin^2t = Rraiz1-sin^2t = Rcos t (cos t>=0 em [-tfracpi2,tfracpi2])
Logo a integral vira
2integral-R^RraizR^2-x^2;dx =2integral-pi/2^pi/2Rcos t;l(Rcos t,dtr) =2R^2integral-pi/2^pi/2cos^2t;dt

Passo 4

Para calcular integral-pi/2^pi/2cos^2t;dt, usamos a identidade
cos^2t = 1+cos(2t)2
Então
integral-pi/2^pi/2cos^2t;dt = 12integral-pi/2^pi/21,dt + 12integral-pi/2^pi/2cos(2t);dt
A primeira parte vale tfrac12cdotpi, e a segunda parte é zero pois cos(2t) é função par em um intervalo simétrico. Logo
integral-pi/2^pi/2cos^2t;dt = pi2

Passo 5

Voltando à área, obtemos
A = 2R^2cdot pi2 = pi R^2

Resposta

pi R^2

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