Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty n cos n pi2^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty ncos(npi)2^n
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, note que
cos(npi)=(-1)^n,
logo o termo geral da série pode ser escrito como
an=n(-1)^n2^n

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^inftyn2^n
Aplicamos o teste da razão:
L=limntoinftyn+12^,n+1n2^n =limntoinftyn+1ncdot12 =12<1
Como L<1, a série sum n/2^n converge, portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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