Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial x partial y para as funções abaixo:
f(x, y)=x^2+3 x y+2 y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2 , e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem: partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, e partial^2 fpartial x partial y. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais da matemática, que nos permite analisar como a função varia em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Isso significa que consideramos y como uma constante e derivamos em relação a x .
A função é:
f(x, y) = x^2 + 3xy + 2y^2
Derivando termo a termo em relação a x :
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
  • A derivada de 3xy em relação a x é 3y , já que y é tratado como constante.
  • A derivada de 2y^2 em relação a x é 0 , porque não há x nesse termo.
Portanto:
partial fpartial x = 2x + 3y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , partial fpartial y . Aqui, consideramos x como constante e derivamos em relação a y .
Derivando termo a termo em relação a y :
  • A derivada de x^2 em relação a y é 0 , pois não há y nesse termo.
  • A derivada de 3xy em relação a y é 3x .
  • A derivada de 2y^2 em relação a y é 4y .
Portanto:
partial fpartial y = 3x + 4y

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial^2 fpartial x^2 . Isso significa que derivamos a primeira derivada parcial partial fpartial x em relação a x novamente.
Já encontramos:
partial fpartial x = 2x + 3y
Derivando em relação a x :
  • A derivada de 2x em relação a x é 2 .
  • A derivada de 3y em relação a x é 0 , já que y é tratado como constante.
Portanto:
partial^2 fpartial x^2 = 2

Passo 5

Finalmente, precisamos calcular a segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial x partial y . Isso significa que primeiro derivamos a função f em relação a x , e depois derivamos o resultado em relação a y .
Já temos:
partial fpartial x = 2x + 3y
Agora, derivamos isso em relação a y :
  • A derivada de 2x em relação a y é 0 , já que x é tratado como constante.
  • A derivada de 3y em relação a y é 3 .
Portanto:
partial^2 fpartial x partial y = 3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x + 3y
partial fpartial y = 3x + 4y
partial^2 fpartial x^2 = 2
partial^2 fpartial x partial y = 3

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