Calcule as derivadas parciais
para as funções abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
,
,
, e
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivadas parciais da matemática, que nos permite analisar como a função varia em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que consideramos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que é tratado como constante. - A derivada de
em relação a é , porque não há nesse termo.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, consideramos
como constante e derivamos em relação a
.
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , pois não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que derivamos a primeira derivada parcial
em relação a
novamente.
Já encontramos:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que é tratado como constante.
Portanto:
Passo 5
Finalmente, precisamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos a função
em relação a
, e depois derivamos o resultado em relação a
.
Já temos:
Agora, derivamos isso em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que é tratado como constante. - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são: