Calcule as derivadas parciais
para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de até segunda ordem da função
. Vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e aplicar regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos
em relação a
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
.
Passo 4
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como constante e diferenciamos
em relação a
.
Passo 6
Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Com
, temos
.
Passo 7
Assim,
.
Passo 8
Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro,
. Já sabemos que
. Vamos diferenciar isso novamente em relação a
.
Passo 9
Aplicamos a regra do produto: se temos
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 10
Calculamos
e
.
Passo 11
Então,
.
Passo 12
Simplificando,
.
Passo 13
Por último, vamos calcular a derivada mista
. Podemos derivar
em relação a
.
Passo 14
Novamente, usamos a regra do produto. Aqui,
e
.
Passo 15
Calculamos
e
.
Passo 16
Assim,
.
Resposta
As derivadas parciais de
são: