Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial x partial y para as funções abaixo:
f(x, y)=e^x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de até segunda ordem da função f(x, y) = e^x^2 y . Vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e aplicar regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Para isso, tratamos y como uma constante e diferenciamos e^x^2 y em relação a x .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a u é e^u , e multiplicamos pela derivada de u em relação a x . Aqui, u = x^2 y , então dudx = 2x y .

Passo 4

Portanto, partial fpartial x = e^x^2 y cdot 2x y = 2x y e^x^2 y .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , partial fpartial y . Aqui, tratamos x como constante e diferenciamos e^x^2 y em relação a y .

Passo 6

Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a u é e^u , e multiplicamos pela derivada de u em relação a y . Com u = x^2 y , temos dudy = x^2 .

Passo 7

Assim, partial fpartial y = e^x^2 y cdot x^2 = x^2 e^x^2 y .

Passo 8

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, partial^2 fpartial x^2 . Já sabemos que partial fpartial x = 2x y e^x^2 y . Vamos diferenciar isso novamente em relação a x .

Passo 9

Aplicamos a regra do produto: se temos u cdot v , a derivada é u'v + uv' . Aqui, u = 2x y e v = e^x^2 y .

Passo 10

Calculamos u' = ddx(2x y) = 2 y e v' = ddx(e^x^2 y) = 2x y e^x^2 y .

Passo 11

Então, partial^2 fpartial x^2 = u'v + uv' = 2 y e^x^2 y + 2x y cdot 2x y e^x^2 y = 2 y e^x^2 y + 4x^2 y^2 e^x^2 y .

Passo 12

Simplificando, partial^2 fpartial x^2 = e^x^2 y (2 y + 4x^2 y^2) .

Passo 13

Por último, vamos calcular a derivada mista partial^2 fpartial x partial y . Podemos derivar partial fpartial x = 2x y e^x^2 y em relação a y .

Passo 14

Novamente, usamos a regra do produto. Aqui, u = 2x y e v = e^x^2 y .

Passo 15

Calculamos u' = ddy(2x y) = 2x e v' = ddy(e^x^2 y) = x^2 e^x^2 y .

Passo 16

Assim, partial^2 fpartial x partial y = u'v + uv' = 2x e^x^2 y + 2x y cdot x^2 e^x^2 y = 2x e^x^2 y + 2x^3 y e^x^2 y .

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) = e^x^2 y são:
partial fpartial x = 2x y e^x^2 y
partial fpartial y = x^2 e^x^2 y
partial^2 fpartial x^2 = e^x^2 y (2 y + 4x^2 y^2)
partial^2 fpartial x partial y = e^x^2 y (2x + 2x^3 y)

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