Verifique se os limites abaixo existem ou não:
lim (x, y) mapsto(0,0) x^2-y^2x-y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
lim(x,y)to(0,0) x^2-y^2x-y
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar fatoração de binômio e simplificação da expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Observe que a fração
x^2-y^2x-y
só está definida quando xneq y. No entanto, o ponto (0,0) é ponto de acumulação do domínio (x,y)mid xneq y, então podemos estudar o limite aproximando-nos de (0,0) por pontos onde xneq y.

Passo 3

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Para xneq y podemos simplificar a fração:
x^2-y^2x-y =(x-y)(x+y)x-y = x+y

Passo 4

Agora, em todos os pontos do domínio a função coincide com x+y, que é contínua em (0,0). Logo,
lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2x-y =lim(x,y)to(0,0)(x+y) =0+0 =0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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