Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=n^2n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = n^2n^3 + 1
é convergente e, em caso afirmativo, achar limntoinftyan. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de sequência usando técnica algébrica de divisão pelo termo de maior grau.

Passo 2

Para expor o comportamento para n grande, dividimos numerador e denominador por n^3, o maior grau que aparece em n^3+1:
an = n^2n^3+1 = n^2n^3 n^3n^3 + 1n^3 = 1n1 + 1n^3

Passo 3

Agora observamos o limite de cada termo quando ntoinfty:
1nto 0 e 1n^3to 0. Logo
limntoinftyan = limntoinfty1n1 + 1n^3 = 01+0 =0

Resposta

A sequência an é convergente e seu limite é 0.

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