Calcule as derivadas parciais
para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função que envolve duas variáveis,
e
. A função que estamos trabalhando é
. Nosso objetivo é encontrar as primeiras derivadas parciais
e
, além das segundas derivadas
e
. Para isso, vamos precisar saber como usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, aplicadas em cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. Aqui temos um produto de duas funções de
:
e
. A gente vai usar a regra do produto, que diz que
.
Aplicando isso:
A derivada de
em relação a
é 1:
Simplificando o segundo termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Desta vez,
é tratado como constante.
A função é
. Aqui, apenas
depende de
.
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Vamos agora para a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar novamente
em relação a
.
Da Passo 2, temos:
Derivando em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de 1 é 0:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa.
Vamos derivar
em relação a
. Da Passo 3:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: