Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial x partial y para as funções abaixo:
f(x, y)=x ln (x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função que envolve duas variáveis, x e y . A função que estamos trabalhando é f(x, y) = x ln(xy) . Nosso objetivo é encontrar as primeiras derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y , além das segundas derivadas partial^2 fpartial x^2 e partial^2 fpartial x partial y . Para isso, vamos precisar saber como usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, aplicadas em cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Lembre-se que, ao derivar em relação a x , tratamos y como uma constante.
A função é f(x, y) = x ln(xy) . Aqui temos um produto de duas funções de x : x e ln(xy) . A gente vai usar a regra do produto, que diz que ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' .
Aplicando isso:
partial fpartial x = ddx(x) cdot ln(xy) + x cdot ddx(ln(xy))
A derivada de x em relação a x é 1:
partial fpartial x = 1 cdot ln(xy) + x cdot 1xy cdot y
Simplificando o segundo termo:
partial fpartial x = ln(xy) + x cdot yxy = ln(xy) + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Desta vez, x é tratado como constante.
A função é f(x, y) = x ln(xy) . Aqui, apenas ln(xy) depende de y .
A derivada de ln(u) em relação a y é 1u cdot dudy . Então:
partial fpartial y = x cdot 1xy cdot x = x^2xy = xy

Passo 4

Vamos agora para a segunda derivada parcial em relação a x , ou seja, partial^2 fpartial x^2 . Isso significa que vamos derivar novamente partial fpartial x em relação a x .
Da Passo 2, temos:
partial fpartial x = ln(xy) + 1
Derivando em relação a x :
partial^2 fpartial x^2 = ddx(ln(xy)) + ddx(1)
A derivada de ln(xy) em relação a x é 1xy cdot y = 1x , e a derivada de 1 é 0:
partial^2 fpartial x^2 = 1x + 0 = 1x

Passo 5

Por último, vamos encontrar a segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial x partial y . Isso significa que primeiro derivamos em relação a y e depois em relação a x , ou vice-versa.
Vamos derivar partial fpartial y em relação a x . Da Passo 3:
partial fpartial y = xy
Derivando em relação a x :
partial^2 fpartial x partial y = ddx(xy) = 1y

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = x ln(xy) são:
partial fpartial x = ln(xy) + 1
partial fpartial y = xy
partial^2 fpartial x^2 = 1x
partial^2 fpartial x partial y = 1y

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