Para qual direção v a derivada direcional da função f(x, y)=xy^2 no ponto (2,1) terá valor 0?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual direção v a derivada direcional da função f(x, y) = xy^2 no ponto (2, 1) será igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função f na direção de um vetor v em um ponto (x, y) é dada por:
Dv f(x, y) = nabla f(x, y) cdot u
onde nabla f(x, y) é o gradiente de f no ponto (x, y) e u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o gradiente nabla f(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 6

Queremos que a derivada direcional seja zero:
Dv f(2, 1) = nabla f(2, 1) cdot u = 0
Isso significa que o gradiente nabla f(2, 1) está perpendicular ao vetor unitário u.

Passo 7

Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, qualquer vetor v que seja perpendicular a nabla f(2, 1) = (1, -4) vai satisfazer essa condição.

Passo 8

Vetores perpendiculares a (1, -4) podem ser obtidos trocando os componentes e invertendo um deles. Assim, um vetor perpendicular seria (4, 1) ou (-4, -1).

Passo 9

Como estamos procurando pela direção, basta escolher qualquer múltiplo desse vetor. Então, a direção v pode ser qualquer vetor proporcional a (-4, -1).

Resposta

A direção v deve ser paralela a (-4, -1). Ou seja, v pode ser qualquer múltiplo de -4 -1 .

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