Para qual direção
a derivada direcional da função
no ponto
terá valor 0?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual direção
a derivada direcional da função
no ponto
será igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
em um ponto
é dada por:
onde
é o gradiente de
no ponto
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 6
Queremos que a derivada direcional seja zero:
Isso significa que o gradiente
está perpendicular ao vetor unitário
.
Passo 7
Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, qualquer vetor
que seja perpendicular a
vai satisfazer essa condição.
Passo 8
Vetores perpendiculares a
podem ser obtidos trocando os componentes e invertendo um deles. Assim, um vetor perpendicular seria
ou
.
Passo 9
Como estamos procurando pela direção, basta escolher qualquer múltiplo desse vetor. Então, a direção
pode ser qualquer vetor proporcional a
.
Resposta
A direção
deve ser paralela a
. Ou seja,
pode ser qualquer múltiplo de
.