Calcule as derivadas parciais
para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada parcial de
em relação a
significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
. A função é
.
Para derivar
, onde
, usamos a regra da cadeia:
Então:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é 0 (já que
é constante):
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
. A função continua sendo
.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Onde
. Então:
A derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
em relação a
é 1:
Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
duas vezes, ou seja,
.
Já sabemos que:
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a
novamente. Vamos usar a regra do produto, já que temos
multiplicado por
:
A derivada de
em relação a
é
. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia novamente:
Onde
. Já sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
duas vezes, ou seja,
.
Já temos:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Onde
. Sabemos que
, então:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista de
em relação a
e depois a
, ou seja,
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Onde
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais e suas segundas derivadas para a função
são: