Calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x^2 partial^2 fpartial x partial y para as funções abaixo:
f(x, y)=sen(x^2+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = sin(x^2 + y) . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A derivada parcial de f em relação a x significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x . A função é f(x, y) = sin(x^2 + y) .
Para derivar sin(u) , onde u = x^2 + y , usamos a regra da cadeia:
ddx sin(u) = cos(u) cdot dudx
Então:
partial fpartial x = cos(x^2 + y) cdot ddx(x^2 + y)
A derivada de x^2 em relação a x é 2x , e a derivada de y em relação a x é 0 (já que y é constante):
ddx(x^2 + y) = 2x
Portanto:
partial fpartial x = cos(x^2 + y) cdot 2x = 2x cos(x^2 + y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y . A função continua sendo f(x, y) = sin(x^2 + y) .
Aplicando a regra da cadeia novamente:
ddy sin(u) = cos(u) cdot dudy
Onde u = x^2 + y . Então:
partial fpartial y = cos(x^2 + y) cdot ddy(x^2 + y)
A derivada de x^2 em relação a y é 0, e a derivada de y em relação a y é 1:
ddy(x^2 + y) = 1
Portanto:
partial fpartial y = cos(x^2 + y) cdot 1 = cos(x^2 + y)

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x duas vezes, ou seja, partial^2 fpartial x^2 .
Já sabemos que:
partial fpartial x = 2x cos(x^2 + y)
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a x novamente. Vamos usar a regra do produto, já que temos 2x multiplicado por cos(x^2 + y) :
partial^2 fpartial x^2 = ddx(2x) cdot cos(x^2 + y) + 2x cdot ddxcos(x^2 + y)
A derivada de 2x em relação a x é 2 . Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia novamente:
ddxcos(u) = -sin(u) cdot dudx
Onde u = x^2 + y . Já sabemos que dudx = 2x , então:
ddxcos(x^2 + y) = -sin(x^2 + y) cdot 2x
Substituindo de volta:
partial^2 fpartial x^2 = 2 cos(x^2 + y) + 2x cdot (-2x sin(x^2 + y)) = 2 cos(x^2 + y) - 4x^2 sin(x^2 + y)

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a y duas vezes, ou seja, partial^2 fpartial y^2 .
Já temos:
partial fpartial y = cos(x^2 + y)
Agora, derivamos isso em relação a y :
partial^2 fpartial y^2 = ddycos(x^2 + y)
Usando a regra da cadeia:
ddycos(u) = -sin(u) cdot dudy
Onde u = x^2 + y . Sabemos que dudy = 1 , então:
partial^2 fpartial y^2 = -sin(x^2 + y) cdot 1 = -sin(x^2 + y)

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista de f em relação a x e depois a y , ou seja, partial^2 fpartial x partial y .
Começamos com a primeira derivada em relação a x :
partial fpartial x = 2x cos(x^2 + y)
Agora, derivamos isso em relação a y :
partial^2 fpartial x partial y = 2x cdot ddycos(x^2 + y)
Usando a regra da cadeia:
ddycos(u) = -sin(u) cdot dudy
Onde u = x^2 + y . Sabemos que dudy = 1 , então:
ddycos(x^2 + y) = -sin(x^2 + y) cdot 1 = -sin(x^2 + y)
Portanto:
partial^2 fpartial x partial y = 2x cdot (-sin(x^2 + y)) = -2x sin(x^2 + y)

Resposta

As derivadas parciais e suas segundas derivadas para a função f(x, y) = sin(x^2 + y) são:
partial fpartial x = 2x cos(x^2 + y)
partial fpartial y = cos(x^2 + y)
partial^2 fpartial x^2 = 2 cos(x^2 + y) - 4x^2 sin(x^2 + y)
partial^2 fpartial y^2 = -sin(x^2 + y)
partial^2 fpartial x partial y = -2x sin(x^2 + y)

Exercícios relacionados