Calcule as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y)=5 x^4 y^2+8 x y^3+4

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente calcular as derivadas parciais da função
f(x,y)=5x^4y^2+8xy^3+4
Conteúdo: derivadas parciais. Ou seja, vamos derivar em relação a x mantendo y fixo, e depois em relação a y mantendo x fixo. Para isso, usamos:
  • Regra do poder: ddxx^n = n,x^n-1.
  • Derivada de constante é zero.
  • Derivada de constante vezes função é constante vezes derivada da função.

Passo 2

Vamos achar partial fpartial x.
  1. No termo 5x^4y^2, y^2 é constante, então:
partialpartial xl(5x^4y^2r) =5y^2cdotddx(x^4) =5y^2cdot4x^3 =20x^3y^2
  1. No termo 8xy^3, y^3 é constante, então:
partialpartial xl(8xy^3r) =8y^3cdotddx(x) =8y^3cdot1 =8y^3
  1. O termo constante 4 some na derivada: partialpartial x(4)=0.
    Somando tudo:
partial fpartial x =20x^3y^2+8y^3

Passo 3

Agora a gente faz partial fpartial y.
  1. No termo 5x^4y^2, x^4 é constante, então:
partialpartial yl(5x^4y^2r) =5x^4cdotddy(y^2) =5x^4cdot2y =10x^4y
  1. No termo 8xy^3, x é constante, então:
partialpartial yl(8xy^3r) =8xcdotddy(y^3) =8xcdot3y^2 =24xy^2
  1. De novo, o 4 some: partialpartial y(4)=0.
    Somando tudo:
partial fpartial y =10x^4y+24xy^2

Resposta

boxedpartial fpartial x=20x^3y^2+8y^3, partial fpartial y=10x^4y+24xy^2

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