Seja f(x)=rr-1 & se x<0 1 & se 0<x. Mostre que lim x 0 f(x) existe, porém lim x 0|f(x)| não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= -1, & x<0, 1, & x>0,
e quer que a gente mostre que limxto0f(x) existe mas limxto0|f(x)| não existe. Para analisar existência de limite, vamos usar o conceito de limites laterais e o fato de que se limxto0f(x) existisse então, pela continuidade de lvertcdotrvert, teríamos automaticamente limxto0|f(x)|=|limxto0f(x)|.

Passo 2

Calculemos as duas limites laterais de f:
limxto0^-f(x) =limxto0^-(-1)=-1, limxto0^+f(x) =limxto0^+(1)=1

Passo 3

Como
limxto0^-f(x)=-1 e limxto0^+f(x)=1
são diferentes, concluímos que
limxto0f(x)
não existe.

Passo 4

Agora note que para todo xneq0 temos lvert f(x)rvert=1. Logo
limxto0|f(x)| =limxto01 =1,
portanto esse limite existe e vale 1.

Passo 5

Concluímos que, na verdade, a afirmação do enunciado está invertida: limxto0f(x) não existe, mas limxto0|f(x)| existe e é igual a 1. Não há como provar o enunciado original porque ele é incorreto.

Resposta

A afirmação dada é falsa.
limxto0f(x) não existe, limxto0|f(x)|=1 ã

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