Seja . Mostre que lim x 0 f(x) existe, porém lim x 0|f(x)| não existe.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= -1, & x<0, 1, & x>0,
e quer que a gente mostre que limxto0f(x) existe mas limxto0|f(x)| não existe. Para analisar existência de limite, vamos usar o conceito de limites laterais e o fato de que se limxto0f(x) existisse então, pela continuidade de lvertcdotrvert, teríamos automaticamente limxto0|f(x)|=|limxto0f(x)|.
Agora note que para todo xneq0 temos lvert f(x)rvert=1. Logo
limxto0|f(x)| =limxto01 =1,
portanto esse limite existe e vale 1.
Passo 5
Concluímos que, na verdade, a afirmação do enunciado está invertida: limxto0f(x) não existe, mas limxto0|f(x)| existe e é igual a 1. Não há como provar o enunciado original porque ele é incorreto.