Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
x d yd x=x^2+y ; y=x^2+Cx

Passo 1

O enunciado nos pede verificar que a função candidata está dada por
y = x^2 + Cx
e satisfaz a equação diferencial
x dydx = x^2 + y
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem e o método é a verificação por substituição.

Passo 2

Para verificar se essa função satisfaz a equação, primeiro calculamos sua derivada. Usando a regra de derivação de soma e de potência, obtemos
dydx = 2x + C

Passo 3

Substituímos em cada membro da equação original. Para o membro esquerdo, temos
x dydx = x(2x + C) = 2x^2 + Cx
Para o membro direito, substituindo y temos
x^2 + y = x^2 + (x^2 + Cx) = 2x^2 + Cx
Como os dois lados coincidem para todo x, a igualdade se verifica.

Resposta

A função y = x^2 + Cx é solução da equação diferencial
x dydx = x^2 + y

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