Dada f(x)=ll2 x-a & se x<-3 a x+2 b & se -3 <= x <= 3 b-5 x & se 3<x. Ache os valores de a e b, tais que lim x -2 f(x) e lim x 2 f(x) ambos existam.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= 2x - a, & x < -3, a x + 2b, & -3 <= x <= 3, b - 5x, & x > 3,
e pede para que existam limxto -2f(x) e limxto 2f(x). O conteúdo aqui é limite de função definida por partes e, em particular, analisar se há mudanças de definição próximas de -2 e de 2.

Passo 2

Para xto -2, note que -2 está no interior do intervalo [-3,3]. Isso quer dizer que, ao nos aproximarmos de -2 tanto pela esquerda quanto pela direita, usamos sempre a mesma expressão
f(x)=a x + 2b
Logo,
limxto -2f(x) =limxto -2(a x + 2b) =acdot(-2)+2b,
que existe para quaisquer a e b.

Passo 3

Analogamente, para xto 2, temos que 2 também pertence ao interior de [-3,3], então de novo
f(x)=a x + 2b para x perto de 2,
e
limxto 2f(x) =limxto 2(a x + 2b) =acdot 2 + 2b,
que também existe independentemente dos valores de a e b.

Resposta

Quaisquer valores reais de a e b.

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