Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
d yd x+y=e^-x ; y=(x+2) e^-x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y=(x+2)e^-x
satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem
dydx + y = e^-x
Para isso, vamos calcular dydx e em seguida formar dydx+y.

Passo 2

Calculamos dydx usando a regra do produto em
y=(x+2)e^-x:
dydx = ddxl((x+2)e^-xr) = (x+2)ddx(e^-x) + e^-xddx(x+2) = (x+2)(-e^-x) + e^-xcdot1 = -,(x+2)e^-x + e^-x
Agora agrupamos termos semelhantes:
dydx = l(-x-2+1r)e^-x = -(x+1)e^-x

Passo 3

Formamos a soma dydx+y e simplificamos:
dydx + y = l[-(x+1)e^-xr] + l[(x+2)e^-xr] = l[-(x+1) + (x+2)r]e^-x = (1)e^-x = e^-x
Isso coincide exatamente com o termo do lado direito da equação diferencial.

Resposta

A função y=(x+2)e^-x satisfaz
dydx+y=e^-x, portanto é solução da equação diferencial dada.

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