Calcule as derivadas parciais das funções abaixo
f(x, y)= x yx^2-y^2 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,yx^2-y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y tanto no ponto geral (x,y)neq(0,0) quanto em (0,0). Vamos usar a regra do quociente para o caso (x,y)neq(0,0) e a defini\u00e7\u00e3o de derivada para o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente na variável x. O numerador da função é u(x,y)=x,y e o denominador é v(x,y)=x^2-y^2, então
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2 =y,(x^2-y^2)-x,y,(2x)(x^2-y^2)^2 =-y,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2

Passo 3

Ainda para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente na variável y. Agora uy=x e vy=-2y, logo
partial fpartial y =uy,v - u,vyv^2 =x,(x^2-y^2)-x,y,(-2y)(x^2-y^2)^2 =x,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=f(0,h)=0 para hneq0.

Resposta

partial fpartial x(x,y) =-y,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =x,(x^2+y^2)(x^2-y^2)^2
para (x,y)neq(0,0), e
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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