Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a
. Verifique se
definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz os três axiomas de produto interno: linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade definida. Vamos conferir cada um deles.
Passo 2
(Linearidade) Tomemos
e escalares
. Então
Logo é linear no primeiro argumento.
Passo 3
(Simetria) Como o produto de funções é comutativo, basta trocar
por
na integral:
Passo 4
(Positividade definida) Para qualquer
,
Além disso,
implica
quase em todo
, ou seja,
é constante.
Passo 5
Como
constante não é necessariamente o polinômio zero, temos polinômios não-nulos com
. Logo falta a positividade estrita, e portanto
não é um produto interno em todo
.
Resposta
A forma dada satisfaz linearidade e simetria, mas falha em positividade definida (constantemente não nulo tem norma zero). Portanto não define produto interno em
.