Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Verifique se lang<=,rang<=: Pn times Pn R definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
lang<= f, grang<==integral0^1 d fd t(t) d gd t(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= f,grang<= ;=;integral0^1 f'(t),g'(t),dt
em PntimesPn satisfaz os três axiomas de produto interno: linearidade no primeiro argumento, simetria e positividade definida. Vamos conferir cada um deles.

Passo 2

(Linearidade) Tomemos f,h,ginPn e escalares a,binR. Então
lang<= a,f + b,h,;grang<= =integral0^1l(a,f'(t)+b,h'(t)r),g'(t),dt =aintegral0^1f'(t),g'(t),dt +bintegral0^1h'(t),g'(t),dt =alang<= f,grang<= + blang<= h,grang<=
Logo é linear no primeiro argumento.

Passo 3

(Simetria) Como o produto de funções é comutativo, basta trocar f' por g' na integral:
lang<= f,grang<= =integral0^1f'(t),g'(t),dt =integral0^1g'(t),f'(t),dt =lang<= g,frang<=

Passo 4

(Positividade definida) Para qualquer finPn,
lang<= f,frang<= =integral0^1l(f'(t)r)^2dt;>=0
Além disso, lang<= f,frang<==0 implica ,f'(t)=0 quase em todo t, ou seja, f é constante.

Passo 5

Como f constante não é necessariamente o polinômio zero, temos polinômios não-nulos com lang<= f,frang<==0. Logo falta a positividade estrita, e portanto lang<=cdot,cdotrang<= não é um produto interno em todo Pn.

Resposta

A forma dada satisfaz linearidade e simetria, mas falha em positividade definida (constantemente não nulo tem norma zero). Portanto não define produto interno em Pn.

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