Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
y d x-x d yx^2 y^4=x d y+y d x

Passo 1

O enunciado pede para transformar em exata e resolver a EDO
y,dx - x,dyx^2y^4 ;=; x,dy + y,dx
O conteúdo aqui envolve identificação de uma forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, teste de exatidão e uso de fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por x^2y^4 e passamos tudo para o lado esquerdo:
y,dx - x,dy ;-;x^2y^4(x,dy + y,dx)=0
Isso dá
l(y - x^2y^5r),dx ;+;l(-,x - x^3y^4r),dy =0
Logo definimos
M(x,y)=y - x^2y^5, N(x,y)=-,x - x^3y^4

Passo 3

Verificamos se é exata calculando
partial Mpartial y =1 -5x^2y^4, partial Npartial x =-1 -3x^2y^4
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Procuramos um fator integrante que dependa só de y.

Passo 4

Testamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM =l(-1-3x^2y^4r)-l(1-5x^2y^4r),y - x^2y^5, =-2+2x^2y^4y(1- x^2y^4) =-2y,
que depende só de y. Assim o fator integrante é
mu(y)=exp!l(integral -tfrac2y,dyr) =y^-2

Passo 5

Multiplicamos M e N por mu=y^-2, obtendo
M^*=y - x^2y^5y^2 =1y-x^2y^3, N^*=-x - x^3y^4y^2 =-xy^2-x^3y^2
Agora confirmamos a exatidão:
partial M^*partial y =-1y^2-3x^2y^2, partial N^*partial x =-1y^2-3x^2y^2

Passo 6

Como é exata, existe phi(x,y) com
phix = M^*, phiy = N^*
Integramos phix em x:
phi(x,y) =integrall(tfrac1y-x^2y^3r),dx =xy-x^3y^33+h(y)
Derivando em y:
phiy =-xy^2-x^3y^2+h'(y)
deve bater com N^*=-xy^2-x^3y^2. Logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 7

A solução geral vem de phi(x,y)=C, ou seja
xy-x^3y^33=C,
com CinR.

Resposta

boxedxy-x^3y^33=C

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