Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
\frac{\partial w}{\partial x}, \mathrm{w}=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de w em relação a x da função
w=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável independente em que vamos derivar é x.
  • A outra variável y deve ser tratada como constante ao calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • A função está definida sempre que o denominador não for zero, ou seja para y^{2}\neq x^{2}.

Passo 2

Conceito e regra que usaremos (explicadinha):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada de w em que só x varia e y é constante.
  • Como w é quociente de duas funções de x (com parâmetro y), usamos a regra do quociente: se
w=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}
então
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} significa “derivar u em relação a x mantendo y fixo”.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas parciais em relação a x:
  • Tome
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • Derivando em relação a x (lembrando que y^{2} é constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=-2x.
Explicação simples: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(y^{2})=0 porque y é tratado como constante.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo os valores:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{(2x)\,(y^{2}-x^{2}) - (x^{2}+y^{2})\,(-2x)}{(y^{2}-x^{2})^{2}}.

Passo 5

Fazer as contas no numerador passo a passo:
(2x)(y^{2}-x^{2}) - (x^{2}+y^{2})(-2x) =2x y^{2}-2x^{3} + 2x x^{2} + 2x y^{2}.
Agora combinar termos semelhantes:
-2x^{3}+2x x^{2}= -2x^{3}+2x^{3}=0,
e
2x y^{2}+2x y^{2}=4x y^{2}.
Portanto o numerador reduz-se a 4x y^{2}.

Passo 6

Escrever a derivada parcial finalizada:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},
válida para y^{2}\neq x^{2}. Observação: pode-se ver que o sinal do denominador ao quadrado fica sempre não-negativo (exceto onde é zero), então o sinal da derivada é dado pelo sinal de x y^{2} (sinal de x, já que y^{2}\ge 0).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}

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