Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável independente em que vamos derivar é
. - A outra variável
deve ser tratada como constante ao calcular . - A função está definida sempre que o denominador não for zero, ou seja para
.
Passo 2
Conceito e regra que usaremos (explicadinha):
- A derivada parcial
é a derivada de em que só varia e é constante. - Como
é quociente de duas funções de (com parâmetro ), usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas parciais em relação a
:
- Tome
- Derivando em relação a
(lembrando que é constante):
Explicação simples:
e
porque
é tratado como constante.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo os valores:
Passo 5
Fazer as contas no numerador passo a passo:
Agora combinar termos semelhantes:
e
Portanto o numerador reduz-se a
.
Passo 6
Escrever a derivada parcial finalizada:
válida para
. Observação: pode-se ver que o sinal do denominador ao quadrado fica sempre não-negativo (exceto onde é zero), então o sinal da derivada é dado pelo sinal de
(sinal de
, já que
).