Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
f(x, y)=2 x^{2} y-4 y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2x^{2}y-4y^{3}
e pede suas derivadas parciais. O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis, em que ao derivar em relação a x consideramos y constante, e ao derivar em relação a y consideramos x constante.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante.
A derivada de 2x^{2}y em relação a x é 4xy e de -4y^{3} é zero. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=4xy.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante.
A derivada de 2x^{2}y em relação a y é 2x^{2} e de -4y^{3} é -12y^{2}. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}-12y^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4xy,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}-12y^{2}.

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