Exercício 5) Calcule a integral \int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y com M(x, y)=
2 x \cos y, N(x, y)=7 x y-x^{2} \operatorname{sen} y e \gamma é o gráfico de y=\cos x, x \in\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], percorrido de \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) até \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) .\left(R=-\frac{7 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma}M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
sobre a curva \gamma dada pelo gráfico y=\cos x, com x variando de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}, e
M(x,y)=2x\cos y, \quad N(x,y)=7xy - x^{2}\sin y.
Como o campo (M,N) não é conservativo (você pode checar que \partial M/\partial y=-2x\sin y\neq \partial N/\partial x=7y-2x\sin y), a melhor estratégia é parametrizar a curva.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
x = t,\quad y=\cos t, \quad t\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Então
dx = dt, \quad dy = -\sin t\,dt.
Substituindo na integral,
I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl[\,2t\cos(\cos t) +\bigl(7t\cos t - t^2\sin(\cos t)\bigr)(-\,\sin t)\Bigr]\,dt.

Passo 3

Expandindo o integrando, separamos em três partes:
I =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2t\cos(\cos t)\,dt \;-\;7\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}t\cos t\sin t\,dt \;+\;\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}t^2\sin(\cos t)\,\sin t\,dt.
Chamemos-as de I_1, I_2 e I_3.

Passo 4

Para
I_2 =-7\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}t\cos t\sin t\,dt
usamos a identidade \cos t\sin t=\tfrac12\sin2t e então fazemos integração por partes:
I_2 =-\frac{7}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}t\sin2t\,dt =\left[\frac{7\,t\cos2t}{4}-\frac{7\sin2t}{8}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =-\frac{7\pi}{4}.

Passo 5

Repare que a soma das outras duas integrais é a derivada de uma função simples:
\frac{d}{dt}\bigl(t^2\cos(\cos t)\bigr) =2t\cos(\cos t)+t^2\sin(\cos t)\sin t.
Logo
I_1+I_3 =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d}{dt}\bigl(t^2\cos(\cos t)\bigr)\,dt =\bigl[t^2\cos(\cos t)\bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =0.
Concluímos que
I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 - \frac{7\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}.

Resposta

-\tfrac{7\pi}{4}

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