Exercício 1) Calcule a integral \int_{\gamma} M(x, y) d x+N(x, y) d y \operatorname{com} M(x, y)= \operatorname{sen}(x y)+x y \cos (x y), \quad N(x, y)=x^{2} \cos (x y) e \gamma: x^{2}+y^{2}=1 .(R=0)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\int_{\gamma}M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy
sobre a curva \gamma\colon x^{2}+y^{2}=1, onde
M(x,y)=\sin(xy)+xy\cos(xy), \quad N(x,y)=x^{2}\cos(xy).
Como \gamma é o contorno do disco unitário, podemos usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região interior, que é simplesmente conexa

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy =\iint_{D}\bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\bigr)\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le1. Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\cos(xy)\bigr) =2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy),
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)+xy\cos(xy)\bigr) =x\cos(xy)+\bigl(x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy)\bigr) =2x\cos(xy)-x^{2}y\sin(xy).

Passo 3

Observamos que
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =0
em todo o disco D.

Passo 4

Como o integrando é zero, a integral dupla sobre D vale zero, logo pela fórmula de Green
\int_{\gamma}M\,dx+N\,dy =0.

Resposta

0

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