Calcule o limite ou mostre que ele não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-(y-1)^{4}}{x^{2}+(y-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{x^{4}-(y-1)^{4}}{x^{2}+(y-1)^{2}}
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar fatoração de diferença de potências e substituição direta.

Passo 2

Repare que no numerador temos diferença de quartas potências. Podemos escrever
x^{4}-(y-1)^{4}=\bigl(x^{2}-(y-1)^{2}\bigr)\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr).

Passo 3

Substituindo na fração e cancelando o fator comum \bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr), que é não nulo perto de (0,0), obtemos
\frac{x^{4}-(y-1)^{4}}{x^{2}+(y-1)^{2}} =x^{2}-(y-1)^{2}.

Passo 4

Agora basta calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}-(y-1)^{2}\bigr) =0^{2} - (0-1)^{2} =-1.

Resposta

-1

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