Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
e) f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente o domínio da função
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A função é definida em pares (x,y) reais.
  • Preciso encontrar todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais f(x,y) está bem definida.
  • Em seguida, devo descrever como esse conjunto aparece graficamente (ou seja, como desenhar o domínio no plano).

Passo 2

Entendendo as restrições impostas pela raiz quadrada.
Regra: a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para a raiz real existir. Aqui a expressão dentro da raiz é 1-x^{2}-y^{2}. Logo a condição necessária é
1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Explicação didática: a raiz quadrada real \sqrt{A} só está definida quando A\ge0. Estou aplicando isso ao caso A=1-x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Entendendo a restrição imposta pelo denominador.
Regra: não se pode dividir por zero. No nosso caso o denominador é \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}. Portanto precisamos que
\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\neq 0.
Combinar com o passo anterior: a raiz exige 1-x^{2}-y^{2}\ge0, e o denominador exige que esse mesmo valor não seja zero. Logo devemos ter
1-x^{2}-y^{2}>0.

Passo 4

Interpretação da desigualdade obtida.
A condição
1-x^{2}-y^{2}>0
é equivalente a
x^{2}+y^{2}<1.
Explicação passo a passo: some x^{2}+y^{2} em ambos os lados da desigualdade do passo anterior e subtraia 0 quando necessário:
1-x^{2}-y^{2}>0 \iff -x^{2}-y^{2}>-1 \iff x^{2}+y^{2}<1.

Passo 5

Interpretação geométrica simples e prática para desenhar.
A desigualdade \,x^{2}+y^{2}<1\, descreve todos os pontos do plano cuja distância ao ponto (0,0) (a origem) é menor que 1. Em linguagem geométrica: é o interior do círculo de raio 1 centrado na origem. Importante: a desigualdade é estrita ( <), portanto a borda do círculo (onde x^{2}+y^{2}=1) não pertence ao domínio.

Passo 6

Outra forma útil (coordenadas polares) — ajuda a visualizar.
Em coordenadas polares (r,\theta) temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição x^{2}+y^{2}<1 vira
r^{2}<1 \iff 0\le r<1,
com \theta livre em [0,2\pi). Isso reforça: o domínio é o disco aberto de raio 1.

Passo 7

Exemplos para fixar a ideia (validação rápida de pontos):
  • O ponto (0,0) satisfaz 0^{2}+0^{2}=0<1, logo pertence ao domínio; ali f(0,0)=1.
  • O ponto (1,0) satisfaz 1^{2}+0^{2}=1, igual a 1, portanto NÃO pertence ao domínio (divisão por zero).
  • O ponto (2,0) satisfaz 4>1, portanto NÃO pertence ao domínio.

Passo 8

Como representar graficamente (passo a passo prático de desenho):
  1. Desenhe o círculo de centro (0,0) e raio 1.
  2. Trace a circunferência como uma linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que os pontos da borda não estão incluídos.
  3. Pinte/ sombreie o interior do círculo — esse interior (sem a borda) é o domínio.
  4. Opcional: escreva a descrição x^{2}+y^{2}<1 ao lado do disco para lembrar a condição.
Observação extra útil para prova: à medida que um ponto (x,y) se aproxima da borda x^{2}+y^{2}=1 a função f(x,y)=1/\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} tende para +\infty. Isso explica por que a borda fica excluída — perto dela a função explode.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}.

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