Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para representar graficamente o domínio da função
Informações dadas e objetivo claro:
- A função é definida em pares
reais. - Preciso encontrar todos os pontos
para os quais está bem definida. - Em seguida, devo descrever como esse conjunto aparece graficamente (ou seja, como desenhar o domínio no plano).
Passo 2
Entendendo as restrições impostas pela raiz quadrada.
Regra: a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para a raiz real existir. Aqui a expressão dentro da raiz é . Logo a condição necessária é
Regra: a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para a raiz real existir. Aqui a expressão dentro da raiz é
Explicação didática: a raiz quadrada real
só está definida quando
. Estou aplicando isso ao caso
.
Passo 3
Entendendo a restrição imposta pelo denominador.
Regra: não se pode dividir por zero. No nosso caso o denominador é . Portanto precisamos que
Regra: não se pode dividir por zero. No nosso caso o denominador é
Combinar com o passo anterior: a raiz exige
, e o denominador exige que esse mesmo valor não seja zero. Logo devemos ter
Passo 4
Interpretação da desigualdade obtida.
A condição
A condição
é equivalente a
Explicação passo a passo: some
em ambos os lados da desigualdade do passo anterior e subtraia
quando necessário:
Passo 5
Interpretação geométrica simples e prática para desenhar.
A desigualdade descreve todos os pontos do plano cuja distância ao ponto
(a origem) é menor que
. Em linguagem geométrica: é o interior do círculo de raio
centrado na origem. Importante: a desigualdade é estrita (
), portanto a borda do círculo (onde
) não pertence ao domínio.
A desigualdade
Passo 6
Outra forma útil (coordenadas polares) — ajuda a visualizar.
Em coordenadas polares temos
,
e
. A condição
vira
Em coordenadas polares
com
livre em
. Isso reforça: o domínio é o disco aberto de raio
.
Passo 7
Exemplos para fixar a ideia (validação rápida de pontos):
- O ponto
satisfaz , logo pertence ao domínio; ali . - O ponto
satisfaz , igual a , portanto NÃO pertence ao domínio (divisão por zero). - O ponto
satisfaz , portanto NÃO pertence ao domínio.
Passo 8
Como representar graficamente (passo a passo prático de desenho):
- Desenhe o círculo de centro
e raio . - Trace a circunferência como uma linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que os pontos da borda não estão incluídos.
- Pinte/ sombreie o interior do círculo — esse interior (sem a borda) é o domínio.
- Opcional: escreva a descrição
ao lado do disco para lembrar a condição.
Observação extra útil para prova: à medida que um ponto
se aproxima da borda
a função
tende para
. Isso explica por que a borda fica excluída — perto dela a função explode.