Calcule as derivadas parciais das funções a seguir.

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=4x^5sinl(2y^3r). O conteúdo usado envolve regra do produto (para x^5 multiplicado por sin(2y^3)) e regra da cadeia (para derivar sin(2y^3) em relação a y).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto apenas derivando x^5:
partial fpartial x =4cdot ddxl(x^5r)cdot sinl(2y^3r) =4cdot 5x^4cdot sinl(2y^3r) =20x^4sinl(2y^3r)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante. Escrevemos f=4x^5cdot sin(u) com u=2y^3. Aplicamos a regra do produto (na verdade só multiplicamos constante) e a regra da cadeia para sin(u):
partial fpartial y =4x^5cdot ddyl[sin(u)r] =4x^5cdot cos(u)cdot dudy
Como u=2y^3, temos
dudy=6y^2
Substituindo, fica
partial fpartial y =4x^5cdot cosl(2y^3r)cdot 6y^2 =24x^5y^2cosl(2y^3r)

Resposta

partial fpartial x=20x^4sinl(2y^3r), partial fpartial y=24x^5y^2cosl(2y^3r)

Exercícios relacionados