1. Encontre, se existir, o

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f(x,y)=8x^2y2|x^2+2|y^2 quando (x,y)to(0,0). Esse é um problema de limite de funções de duas variáveis e vamos usar simplificação algébrica e análise de caminhos para verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão original. Podemos cancelar o fator 2 no numerador e denominador:
8x^2y2|x^2+2|y^2 = 4x^2y|x^2+2|y^2 = 4x^2|x^2+2|,y
Em seguida, notamos que x^2+2>0 para todo x, então |x^2+2|=x^2+2. Assim a função fica
f(x,y)=4x^2(x^2+2),y

Passo 3

Agora aplicamos a análise de caminhos. Seja y=kx^2 com constante kneq0. Substituindo temos
f(x,kx^2)=4x^2(x^2+2),k x^2=4k(x^2+2)
Quando xto0, isso tende a
4k(0+2)=2k

Passo 4

Como esse valor 2/k depende de k, diferentes caminhos dão resultados diferentes (por exemplo, para k=1 dá 2 e para k=2 dá 1). Logo, o limite não é único e não existe.

Resposta

O limite não existe.

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