Questão 8. Sendo uma função inteira que satisfaz para todo , mostre que é constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função inteira tal que para todo . Estamos em Análise Complexa e vamos usar o Teorema de Liouville, que diz que toda função inteira e limitada é constante. Aqui, em vez de aplicar direto em , vamos construir uma função relacionada que fique limitada.
Passo 2
Como nunca atinge zero, concluímos que em . Logo, podemos definir . Como é inteira e sem zeros, também é inteira (uma vez que o inverso de uma função holomorfa sem zeros continua holomorfa).
Passo 3
Pelo enunciado, temos . Então
Passo 4
Isso mostra que g é uma função inteira e limitada por 1 em todo C. Pelo Teorema de Liouville, qualquer função inteira e limitada no plano complexo é constante. Portanto, g(z) é constante.
Passo 5
Se g(z)=c para todo z, então f(z)=1/c também é constante.