Questão 8. Sendo f uma função inteira que satisfaz |f(z)| >= 1 para todo z in C, mostre que f(z) é constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função inteira f:CtoC tal que |f(z)|>=1 para todo z. Estamos em Análise Complexa e vamos usar o Teorema de Liouville, que diz que toda função inteira e limitada é constante. Aqui, em vez de aplicar direto em f, vamos construir uma função relacionada que fique limitada.

Passo 2

Como |f(z)|>=1 nunca atinge zero, concluímos que f(z)neq0 em C. Logo, podemos definir g(z)=dfrac1f(z). Como f é inteira e sem zeros, g também é inteira (uma vez que o inverso de uma função holomorfa sem zeros continua holomorfa).

Passo 3

Pelo enunciado, temos |f(z)|>=1. Então
|g(z)|=|1f(z)|=1|f(z)|<=1

Passo 4

Isso mostra que g é uma função inteira e limitada por 1 em todo C. Pelo Teorema de Liouville, qualquer função inteira e limitada no plano complexo é constante. Portanto, g(z) é constante.

Passo 5

Se g(z)=c para todo z, então f(z)=1/c também é constante.

Resposta

A função f(z) é constante.

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