Considere a função f(x)=(x-3)^-2. Mostre que não existe c in(-1,4) tal que f(4)-f(1)= f^prime(c)(4-1). Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

A questão pede para mostrar que na função f(x)=(x−3)^{−2} não existe c em (1,4) tal que f(4)−f(1)=f′©(4−1) e entender por que isso não viola o Teorema do Valor Médio. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio, que exige continuidade em [1,4] e derivabilidade em (1,4).

Passo 2

Vamos calcular a diferença de valores de f nos pontos 4 e 1 e o coeficiente angular da reta secante. Temos:
f(4)=1(4-3)^2=1, f(1)=1(1-3)^2=14
Logo,
f(4)-f(1)=1-14=34, 4-1=3,
então o coeficiente da secante é
f(4)-f(1)4-1=3/43=14

Passo 3

Agora vamos achar f′(x). Como f(x)=(x-3)^{-2}, pela regra de potência e cadeia,
f(x)=-2(x-3)^-3=-2(x-3)^3

Passo 4

Precisamos resolver
f(c)=14Longrightarrow -2(c-3)^3=14
Isso leva a
(c-3)^3=-8Longrightarrow c-3=-2Longrightarrow c=1

Passo 5

O único candidato é c=1, mas o Teorema do Valor Médio exige que c esteja estritamente entre 1 e 4, ou seja em (1,4). Como c=1 é exatamente o ponto inicial, não vale como interior. Logo não há c em (1,4) que satisfaça a igualdade.

Passo 6

Não há contradição com o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em [1,4] (ela tem uma descontinuidade em x=3). Sem continuidade no fechado e derivabilidade no aberto, as hipóteses do Teorema não se aplicam.

Resposta

Não existe c em (1,4) que satisfaça f(4)−f(1)=f′©(4−1). Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em [1,4] (há descontinuidade em x=3), e portanto as hipóteses do Teorema não se cumprem.

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