Considere a função
. Mostre que não existe
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?
Passo 1
A questão pede para mostrar que na função f(x)=(x−3)^{−2} não existe c em (1,4) tal que f(4)−f(1)=f′©(4−1) e entender por que isso não viola o Teorema do Valor Médio. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio, que exige continuidade em [1,4] e derivabilidade em (1,4).
Passo 2
Vamos calcular a diferença de valores de f nos pontos 4 e 1 e o coeficiente angular da reta secante. Temos:
Logo,
então o coeficiente da secante é
Passo 3
Agora vamos achar f′(x). Como f(x)=(x-3)^{-2}, pela regra de potência e cadeia,
Passo 4
Precisamos resolver
Isso leva a
Passo 5
O único candidato é c=1, mas o Teorema do Valor Médio exige que c esteja estritamente entre 1 e 4, ou seja em (1,4). Como c=1 é exatamente o ponto inicial, não vale como interior. Logo não há c em (1,4) que satisfaça a igualdade.
Passo 6
Não há contradição com o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em [1,4] (ela tem uma descontinuidade em x=3). Sem continuidade no fechado e derivabilidade no aberto, as hipóteses do Teorema não se aplicam.
Resposta
Não existe c em (1,4) que satisfaça f(4)−f(1)=f′©(4−1). Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em [1,4] (há descontinuidade em x=3), e portanto as hipóteses do Teorema não se cumprem.