Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(d) f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2x+y+z
& R: partial fpartial x=x^2-y^2-z^2+2 x y+2 x z(x+y+z)^2 & partial fpartial y=y^2-x^2-z^2+2 x y+2 y z(x+y+z)^2 & partial fpartial z=z^2-x^2-y^2+2 x z+2 y z(x+y+z)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivadas parciais! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é essencial quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se você tem uma função partial fpartial x = partial upartial x cdot v - u cdot partial vpartial xv^2 , a derivada parcial de em relação a uma variável (digamos, ) é dada por:
Isso significa que a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função partial upartial x = 2x partial vpartial x = 1 . Aqui:
Vamos encontrar as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente para partial fpartial x = (2x)(x + y + z) - (x^2 + y^2 + z^2)(1)(x + y + z)^2 :
2x(x + y + z) - (x^2 + y^2 + z^2) = 2x^2 + 2xy + 2xz - x^2 - y^2 - z^2 = x^2 + 2xy + 2xz - y^2 - z^2
Vamos simplificar o numerador:
partial fpartial x = x^2 + 2xy + 2xz - y^2 - z^2(x + y + z)^2
Então, a derivada parcial fica:

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para partial upartial y = 2y partial vpartial y = 1 partial fpartial y = 2y(x + y + z) - (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)^2 = y^2 + 2xy + 2yz - x^2 - z^2(x + y + z)^2 e partial upartial z = 2z partial vpartial z = 1 partial fpartial z = 2z(x + y + z) - (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)^2 = z^2 + 2xz + 2yz - x^2 - y^2(x + y + z)^2 .
Para :
E para :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = x^2 - y^2 - z^2 + 2xy + 2xz(x + y + z)^2
partial fpartial y = y^2 - x^2 - z^2 + 2xy + 2yz(x + y + z)^2
partial fpartial z = z^2 - x^2 - y^2 + 2xz + 2yz(x + y + z)^2

Exercícios relacionados