Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(i) z=x^3 y-e^x y^2
R: partial zpartial x=3 x^2 y-y^2 e^x y^2 ; partial zpartial y=x^3+2 x y e^x y^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, considerando que quando derivamos em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial zpartial x = 3x^2 y - y^2 e^x y^2 em relação a , ou seja, .
A função é .
Primeiro, derivamos em relação a :
  • Como é tratado como constante, a derivada de em relação a é .
Agora, derivamos em relação a :
  • Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
  • Aqui, . A derivada de em relação a é .
  • Então, a derivada de em relação a é .
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = x^3 + 2x y e^x y^2 em relação a , ou seja, .
Novamente, a função é .
Primeiro, derivamos em relação a :
  • Aqui, é constante, então a derivada de em relação a é .
Agora, derivamos em relação a :
  • Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
  • Desta vez, . A derivada de em relação a é .
  • Então, a derivada de em relação a é .
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial zpartial x = 3x^2 y - y^2 e^x y^2
partial zpartial y = x^3 + 2x y e^x y^2

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