Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(i)
(i)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, considerando que quando derivamos em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
- Como
é tratado como constante, a derivada de em relação a é .
Agora, derivamos
em relação a
:
- Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a é vezes a derivada de em relação a . - Aqui,
. A derivada de em relação a é . - Então, a derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função é
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
- Aqui,
é constante, então a derivada de em relação a é .
Agora, derivamos
em relação a
:
- Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a é vezes a derivada de em relação a . - Desta vez,
. A derivada de em relação a é . - Então, a derivada de
em relação a é .
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função são: