Suponha que num cruzamento movimentado ocorra, em média, um acidente de trânsito a cada 3 semanas. Após alterações nos semáferos do cruzamento, se passaram 8 semanas sem registro de acidentes. Assim, vamos determinar se mudanças foram efetivas ou se o intervalo de 8 semanas sem acidentes pode ser fruto do acaso. A Teoria da Probabilidade nos diz que se o tempo médio entre dois acidentes for k (neste caso k=3), a probabilidade de que o tempo x entre duas colisões seja um número entre a e b é dado por
P(a <= x <= b)=integrala^b k e^-k x d x
Explique por que P(x >= 8) é uma Integral Imprópria, determine seu valor, e decida se com k=3 é provável que se passem 8 semanas (ou mais) sem acidentes.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos um cruzamento movimentado onde, em média, ocorre um acidente a cada 3 semanas. Após atualizar os semáforos, passaram-se 8 semanas sem nenhum acidente. Queremos saber se essa mudança foi realmente eficaz ou se as 8 semanas sem acidentes podem ter acontecido por acaso. Para resolver isso, vamos usar a Teoria da Probabilidade, mais especificamente, a distribuição exponencial que nos ajuda a modelar o tempo entre eventos que ocorrem de forma aleatória, como acidentes de trânsito.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender por que é uma Integral Imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função a ser integrada não é limitada em algum ponto do intervalo. No caso de , estamos calculando a probabilidade de que o tempo entre dois acidentes seja maior ou igual a 8 semanas. Isso significa que estamos integrando de 8 até o infinito, o que torna a integral imprópria porque o limite superior é infinito.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de P(x >= 8) = integral8^infty 3 e^-3 x , dx usando a fórmula da probabilidade fornecida:
integral8^infty 3 e^-3 x , dx = [ -e^-3x ]8^infty = 0 - (-e^-24) = e^-24
Para resolver essa integral, fazemos:
e^-24 approx 3.7751 times 10^-11
Calculando o valor numérico:

Resposta

A probabilidade de que se passem 8 semanas ou mais sem acidentes é aproximadamente , um número extremamente pequeno. Portanto, é muito improvável que as 8 semanas sem acidentes tenham ocorrido por acaso. Isso sugere que as alterações nos semáforos foram efetivas em reduzir significativamente a ocorrência de acidentes nesse cruzamento.

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