Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras básicas de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma derivada parcial envolve derivar a função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
separadamente.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
Vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante.
Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando a função externa
e multiplicando pela derivada interna
.
Segundo, derivamos
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, derivando
e multiplicando pela derivada interna
.
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante.
Como
não depende de
, ela é tratada como uma constante durante a derivação.
Derivamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando
e multiplicando pela derivada interna
.
Portanto, a derivada parcial é:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: