Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
c) f(x, y)=cos (x y) cdot sen x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras básicas de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma derivada parcial envolve derivar a função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e separadamente.

Passo 3

Derivada parcial em relação a u' = partialpartial x cos(xy) = -sin(xy) cdot y :
Vamos derivar v' = partialpartial x sin(x^2) = cos(x^2) cdot 2x em relação a partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = (-sin(xy) cdot y) cdot sin(x^2) + cos(xy) cdot (cos(x^2) cdot 2x) , tratando partial fpartial x = -y cdot sin(xy) cdot sin(x^2) + 2x cdot cos(xy) cdot cos(x^2) como uma constante.
Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando a função externa e multiplicando pela derivada interna .
Segundo, derivamos em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, derivando e multiplicando pela derivada interna .
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Derivada parcial em relação a partialpartial y cos(xy) = -sin(xy) cdot x :
Agora, vamos derivar partial fpartial y = (-sin(xy) cdot x) cdot sin(x^2) em relação a partial fpartial y = -x cdot sin(xy) cdot sin(x^2) , tratando como uma constante.
Como não depende de , ela é tratada como uma constante durante a derivação.
Derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia, derivando e multiplicando pela derivada interna .
Portanto, a derivada parcial é:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = -y cdot sin(xy) cdot sin(x^2) + 2x cdot cos(xy) cdot cos(x^2) são:
partial fpartial y = -x cdot sin(xy) cdot sin(x^2)

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