Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
a) f(x, y)=5 x^2+yy+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a e a separadamente. Para isso, precisamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partial partial x ( 5x^2 + yy + 3 ) em relação a partial fpartial x = 10xy + 3 , ou seja, .
A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Então, a derivada fica:
Como é constante em relação a , podemos simplificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partial partial y ( 5x^2 + yy + 3 ) em relação a partial fpartial y = (1)(y + 3) - (5x^2 + y)(1)(y + 3)^2 , ou seja, partial fpartial y = y + 3 - 5x^2 - y(y + 3)^2 = 3 - 5x^2(y + 3)^2 .
Para isso, usamos a regra do quociente, já que tanto o numerador quanto o denominador dependem de :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 10xy + 3 são:
partial fpartial y = 3 - 5x^2(y + 3)^2
e

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