Qual a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=sen x+y cos x no ponto de coordenadas (pi, 1,-1) ?
Dado: z-z0=fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) no ponto . Isso envolve entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas nos ajudam a achar a inclinação do plano tangente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e usar a fórmula do plano tangente que foi dada:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = sin x + y cos x em relação a fx(x, y) = cos x - y sin x , que é . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante. A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = sin x + y cos x em relação a fy(x, y) = cos x , que é . Dessa vez, tratamos como uma constante. A função continua:
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto fx(pi, 1) = cos pi - 1 cdot sin pi = (-1) - 1 cdot 0 = -1 :
Primeiro, fy(pi, 1) = cos pi = -1 :
Segundo, :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente com os valores que encontramos:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo z - (-1) = (-1)(x - pi) + (-1)(y - 1) , z + 1 = -x + pi - y + 1 , z = -x - y + pi , e :
Simplificando:
Rearranjando para deixar isolado:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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