Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
. Isso envolve o estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Vamos aplicar isso:
- Derivar
em relação a : - Manter
como está: - Agora, derivar
em relação a : - Usamos a regra da cadeia. A derivada de
é , onde .
- Usamos a regra da cadeia. A derivada de
- Multiplicamos pela outra parte do produto:
- Juntando as duas partes da regra do produto:
- Fatorando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função continua sendo
. Aqui,
é tratado como uma constante, já que estamos derivando em relação a
.
- Derivar
como constante: - Derivar
em relação a usando a regra da cadeia: - Multiplicando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: