Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(f) z=x^2 sen(2 x y)
R: partial zpartial x=2 x[sen(2 x y)+x y cos (x y)] ; partial zpartial y=2 x^3 cos (2 x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função . Isso envolve o estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de ddx(x^2) = 2x em relação a 2x cdot sin(2xy) , ou seja, ddx(sin(2xy)) = cos(2xy) cdot ddx(2xy) = cos(2xy) cdot (2y) .
A função é x^2 cdot 2y cos(2xy) = 2x^2y cos(2xy) . Aqui, temos um produto de duas funções de partial zpartial x = 2x sin(2xy) + 2x^2y cos(2xy) : partial zpartial x = 2x [ sin(2xy) + xy cos(2xy) ] e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Vamos aplicar isso:
  1. Derivar em relação a :
  2. Manter como está:
  3. Agora, derivar em relação a :
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
  4. Multiplicamos pela outra parte do produto:
  5. Juntando as duas partes da regra do produto:
  6. Fatorando :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de x^2 cdot ddy(sin(2xy)) em relação a ddy(sin(2xy)) = cos(2xy) cdot ddy(2xy) = cos(2xy) cdot (2x) , ou seja, x^2 cdot 2x cos(2xy) = 2x^3 cos(2xy) .
A função continua sendo . Aqui, é tratado como uma constante, já que estamos derivando em relação a .
  1. Derivar como constante:
  2. Derivar em relação a usando a regra da cadeia:
  3. Multiplicando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função partial zpartial x = 2x [ sin(2xy) + xy cos(2xy) ] são:
partial zpartial y = 2x^3 cos(2xy)

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