Dois carros se movem segundo as seguintes vetores posição:
d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é essa velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois carros com as posições dadas por vetores em função do tempo
. O segundo carro tem a posição
para
. Nosso objetivo aqui é descobrir em que ponto a velocidade escalar desse segundo carro é mínima e qual é essa velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial do segundo carro. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Derivando cada parte:
Então, a velocidade vetorial é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente o módulo da velocidade vetorial. Para calcular isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Então, a velocidade escalar do segundo carro é
.
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar o valor de
que minimiza essa função de velocidade
. Mas, para facilitar, vamos minimizar o quadrado da velocidade, já que a função raiz quadrada é crescente e a minimização será equivalente. Assim, vamos considerar:
Essa é uma função quadrática em
, e sabemos que funções quadráticas
têm seu mínimo no vértice, que ocorre em
. No nosso caso,
e
, então:
Então, o mínimo ocorre quando
.
Passo 5
Agora que sabemos que o mínimo da velocidade ocorre em
, vamos encontrar o ponto correspondente na trajetória do segundo carro e a velocidade naquele instante.
Primeiro, substituímos
na posição
:
Então, o ponto é
.
Agora, vamos calcular a velocidade escalar nesse instante:
Resposta
A velocidade escalar do segundo carro é mínima no ponto
e essa velocidade mínima é igual a 1 unidade de velocidade.