Dois carros se movem segundo as seguintes vetores posição:
alpha(t) = (1 + t, 2 + 3t) e beta(t) = (1 - t, 3 + t²), t ≥ 0
d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é essa velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois carros com as posições dadas por vetores em função do tempo . O segundo carro tem a posição para . Nosso objetivo aqui é descobrir em que ponto a velocidade escalar desse segundo carro é mínima e qual é essa velocidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade vetorial do segundo carro. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando cada parte:
Então, a velocidade vetorial é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade escalar, que é simplesmente o módulo da velocidade vetorial. Para calcular isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Então, a velocidade escalar do segundo carro é .

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar o valor de que minimiza essa função de velocidade . Mas, para facilitar, vamos minimizar o quadrado da velocidade, já que a função raiz quadrada é crescente e a minimização será equivalente. Assim, vamos considerar:
Essa é uma função quadrática em , e sabemos que funções quadráticas têm seu mínimo no vértice, que ocorre em . No nosso caso, e , então:
Então, o mínimo ocorre quando .

Passo 5

Agora que sabemos que o mínimo da velocidade ocorre em , vamos encontrar o ponto correspondente na trajetória do segundo carro e a velocidade naquele instante.
Primeiro, substituímos na posição :
Então, o ponto é .
Agora, vamos calcular a velocidade escalar nesse instante:

Resposta

A velocidade escalar do segundo carro é mínima no ponto e essa velocidade mínima é igual a 1 unidade de velocidade.

Exercícios relacionados