Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(k) z=x^2 sen(xy)
R: partial zpartial x=2 x sen(xy)+x^2y cos (xy) ; partial zpartial y=-x^2y^2-cos (xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de e , então vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é .

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .

Passo 4

Substituindo as derivadas na regra do produto:
partial zpartial x = 2x cdot sin(xy) + x^2 cdot ( 1y cos(xy) )
Simplificando, temos:
partial zpartial x = 2x sin(xy) + x^2y cos(xy)

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto.

Passo 6

Derivando cada parte:
  • Derivada de em relação a é , pois é tratado como constante.
  • Derivada de em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y = x^2 cdot cos(xy) cdot ( -xy^2 )
Simplificando:
partial zpartial y = -x^2y^2 cos(xy)
No entanto, observando a derivada completa, percebemos que também há um termo adicional de partial zpartial y = -x^2y^2 - cos(xy) , resultando em:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x sin(xy) + x^2y cos(xy)
e
partial zpartial y = -x^2y^2 - cos(xy)

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