Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de
e
, então vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto
é
.
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .
Passo 4
Substituindo as derivadas na regra do produto:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto.
Passo 6
Derivando cada parte:
- Derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante. - Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
No entanto, observando a derivada completa, percebemos que também há um termo adicional de
, resultando em:
Resposta
As derivadas parciais são:
e