Determinar a área da região limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a área da região que está limitada pelas curvas
e
. Isso entra na matéria de cálculo, especificamente em integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se intersectam e depois configurar uma integral para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver
. Fazendo isso, colocamos tudo de um lado da equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação
. A fórmula é:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual delas está por cima no intervalo
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
A área entre duas curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está embaixo, no intervalo de interseção. Então, a área
é:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região limitada por
e
é
unidades de área.