Determinar a área da região limitada por y = 2 x^2 e y = x + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a área da região que está limitada pelas curvas e . Isso entra na matéria de cálculo, especificamente em integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se intersectam e depois configurar uma integral para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver . Fazendo isso, colocamos tudo de um lado da equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação . A fórmula é:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual delas está por cima no intervalo . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a curva está acima de nesse intervalo.

Passo 5

A área entre duas curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está embaixo, no intervalo de interseção. Então, a área é:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, subtraímos o valor em do valor em :

Resposta

A área da região limitada por e é unidades de área.

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