Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(d) lim (x, y) (0,0) 1-x^2-y^2x^2+y^2 ; nexists

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte de cálculo multivariável, onde queremos saber se o limite existe ou não, e em caso afirmativo, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos verificar o limite ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; se variar, então não existe.

Passo 2

Vamos começar analisando o caminho onde 1 - 0^2 - y^20^2 + y^2 = 1 - y^2y^2 . Nesse caso, a função fica:
limy to 0 1 - y^2y^2 = +infty
Ao fazer , o numerador se aproxima de 1, e o denominador se aproxima de 0. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde 1 - x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = 1 - x^2x^2 . Substituindo na função:
limx to 0 1 - x^2x^2 = +infty
Ao fazer , o numerador se aproxima de 1, e o denominador se aproxima de 0. Então:

Passo 4

Vamos agora analisar o caminho onde 1 - x^2 - x^2x^2 + x^2 = 1 - 2x^22x^2 . Substituindo na função:
1 - 2x^22x^2 = 12x^2 - 1
Simplificando:
limx to 0 ( 12x^2 - 1 ) = +infty
Ao fazer , tende a , então:

Passo 5

Por fim, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, 1 - x^2 - (raiz1 - x^2)^2x^2 + (raiz1 - x^2)^2 = 1 - x^2 - (1 - x^2)x^2 + (1 - x^2) = 01 = 0 . Substituindo na função:

Resposta

Como diferentes caminhos levam a resultados distintos (como por alguns caminhos e por outro), o limite não existe.

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