Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte de cálculo multivariável, onde queremos saber se o limite existe ou não, e em caso afirmativo, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos verificar o limite ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; se variar, então não existe.
Passo 2
Vamos começar analisando o caminho onde
. Nesse caso, a função fica:
Ao fazer
, o numerador
se aproxima de 1, e o denominador
se aproxima de 0. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Ao fazer
, o numerador
se aproxima de 1, e o denominador
se aproxima de 0. Então:
Passo 4
Vamos agora analisar o caminho onde
. Substituindo na função:
Simplificando:
Ao fazer
,
tende a
, então:
Passo 5
Por fim, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Resposta
Como diferentes caminhos levam a resultados distintos (como
por alguns caminhos e
por outro), o limite não existe.