Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função
em torno do eixo
, entre
e
, é dada por
E que o volume do sólido de resolução é dado por
Considere a função
, os pontos
e
, e faça o que se pede.
(a) Mostre que a integral
diverge, e que, por isso, a área
do sólido de revolução também diverge.
(a) Mostre que a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a área de uma superfície de revolução formada pela rotação da função
em torno do eixo
, no intervalo de
até
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais impróprias e superfícies de revolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar integrais que se estendem até o infinito e como isso afeta a área da superfície gerada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral
onde
. Essa integral é um exemplo de integral imprópria, pois um dos limites é infinito. Para avaliar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito), vamos calcular seu valor.
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então, avaliando entre os limites de 1 a
e depois fazendo
tender ao infinito, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral
diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Passo 5
Sabemos que a área
da superfície de revolução é dada por:
Para
, o derivado
é
. Então, temos:
Isso implica que:
Como já vimos que
diverge (vai para infinito), então
também diverge.
Resposta
A integral
diverge, e por consequência, a área
da superfície de revolução também diverge.