Sabendo que a área duma superfície de revolução gerada pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, entre x=a e x=b, é dada por
A=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
E que o volume do sólido de resolução é dado por
V=integrala^b pi cdot[f(x)]^2 d x
Considere a função f(x)=1x, os pontos a=1 e b=+infty, e faça o que se pede.
(a) Mostre que a integral integral1^infty f(x) d x diverge, e que, por isso, a área A do sólido de revolução também diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a área de uma superfície de revolução formada pela rotação da função em torno do eixo , no intervalo de até . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais impróprias e superfícies de revolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar integrais que se estendem até o infinito e como isso afeta a área da superfície gerada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral onde . Essa integral é um exemplo de integral imprópria, pois um dos limites é infinito. Para avaliar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito), vamos calcular seu valor.

Passo 3

Vamos calcular a integral integral1^b 1x , dx = ln|b| - ln|1| = ln b . Sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então, avaliando entre os limites de 1 a e depois fazendo tender ao infinito, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de limb to infty ln b = infty quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Passo 5

Sabemos que a área A = integral1^infty 2pi f(x) raiz1 + [f^prime(x)]^2 , dx da superfície de revolução é dada por:
raiz1 + (-1x^2)^2 = raiz1 + 1x^4 >= 1
Para A >= integral1^infty 2pi cdot 1x cdot 1 , dx = 2pi integral1^infty 1x , dx , o derivado é . Então, temos:
Isso implica que:
Como já vimos que diverge (vai para infinito), então também diverge.

Resposta

A integral diverge, e por consequência, a área da superfície de revolução também diverge.

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