Mostre que as funções abaixo satisfazem a equação do calor partial zpartial t=c^2 partial^2 zpartial x^2
(b) z=e^-t cos (xc)

Passo 1

Ok, vamos ver qual é a parada aqui. A gente precisa mostrar que a função partial zpartial t = c^2 partial^2 zpartial x^2 satisfaz a chamada equação do calor, que é dada por:
Isso significa que, se calcularmos as derivadas parciais de em relação a e , elas devem se encaixar nessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de entender um pouco sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial t = ddt ( e^-t ) cos(xc) = -e^-t cos(xc) em relação ao tempo , que é . A função é . A única parte que depende de é , então a derivada dessa parte é fácil:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem de partial zpartial x = e^-t cdot ddx ( cos(xc) ) = e^-t cdot ( -1c sin(xc) ) = -e^-tc sin(xc) em relação a partial^2 zpartial x^2 = ddx ( -e^-tc sin(xc) ) = -e^-tc cdot 1c cos(xc) = -e^-tc^2 cos(xc) , que é . Primeiro, vamos achar a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas, vamos substituir na equação do calor para ver se ela é satisfeita:
partial zpartial t = -e^-t cos(xc)
c^2 partial^2 zpartial x^2 = c^2 ( -e^-tc^2 cos(xc) ) = -e^-t cos(xc)
Vimos que os dois lados da equação são iguais:
partial zpartial t = c^2 partial^2 zpartial x^2
Isso significa que a função realmente satisfaz a equação do calor.

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação do calor.

Exercícios relacionados