Mostre que as funções abaixo satisfazem a equação do calor
(b)
(b)
Passo 1
Ok, vamos ver qual é a parada aqui. A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a chamada equação do calor, que é dada por:
Isso significa que, se calcularmos as derivadas parciais de
em relação a
e
, elas devem se encaixar nessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de entender um pouco sobre derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, que é
. A função
é
. A única parte que depende de
é
, então a derivada dessa parte é fácil:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a
, que é
. Primeiro, vamos achar a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas, vamos substituir na equação do calor para ver se ela é satisfeita:
Vimos que os dois lados da equação são iguais:
Isso significa que a função
realmente satisfaz a equação do calor.
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a equação do calor.